【三角函數公式表】在數學學習中，三角函數是基礎而重要的內容之一，廣泛應用于幾何、物理、工程等領域。掌握常見的三角函數公式，不僅有助于解題效率的提升，還能加深對三角函數性質的理解。本文將對常見的三角函數公式進行總結，并以表格形式展示，便于查閱與記憶。
一、基本三角函數定義
設直角三角形中，角θ的對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則有：
| 函數名稱 | 定義式 |
| 正弦（sin） | sinθ = a/c |
| 余弦（cos） | cosθ = b/c |
| 正切（tan） | tanθ = a/b |
| 余切（cot） | cotθ = b/a |
| 正割（sec） | secθ = c/b |
| 余割（csc） | cscθ = c/a |
二、常用三角恒等式
以下是一些常用的三角恒等式，適用于各種角度和計算場景：
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 基本恒等式 | sin2θ + cos2θ = 1 |
| 正切與余切關系 | tanθ = sinθ / cosθ |
| 余切與正切關系 | cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割與余弦關系 | secθ = 1 / cosθ |
| 余割與正弦關系 | cscθ = 1 / sinθ |
| 倒數關系 | tanθ · cotθ = 1 |
| 平方關系 | 1 + tan2θ = sec2θ |
| 平方關系 | 1 + cot2θ = csc2θ |
三、誘導公式（角度轉換）
當角度為π/2或π的倍數時，三角函數值會發生變化，以下是常見誘導公式：
| 角度變換 | 三角函數值變化 |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
| tan(2π - θ) | -tanθ |
四、和差角公式
用于計算兩個角的和或差的三角函數值：
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 正弦和角公式 | sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB |
| 正弦差角公式 | sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinB |
| 余弦和角公式 | cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB |
| 余弦差角公式 | cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB |
| 正切和角公式 | tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB) |
| 正切差角公式 | tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB) |
五、倍角與半角公式
用于計算角度的兩倍或一半的三角函數值：
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos2θ - sin2θ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = 2cos2θ - 1 |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = 1 - 2sin2θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan2θ) |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
六、積化和差與和差化積公式
用于將乘積形式轉化為和差形式，或者相反：
| 公式類型 | 公式表達式 |
| 積化和差（正弦） | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| 積化和差（余弦） | cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| 積化和差（正弦） | sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| 和差化積（正弦） | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| 和差化積（余弦） | cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| 和差化積（正弦） | sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| 和差化積（余弦） | cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通過以上整理，我們可以更系統地掌握三角函數的相關公式。這些公式不僅是考試中的高頻考點，也是實際應用中不可或缺的工具。建議在學習過程中結合圖形理解，并通過練習不斷鞏固記憶。
