【三角函數公式】三角函數是數學中非常重要的一個分支，廣泛應用于幾何、物理、工程等多個領域。它主要研究角度與邊長之間的關系，常見的三角函數包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）以及它們的倒數函數：余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。以下是對常見三角函數公式的總結。
一、基本定義
設直角三角形中，角θ的對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則：
| 函數名稱 | 符號 | 定義式 |
| 正弦 | sinθ | a / c |
| 余弦 | cosθ | b / c |
| 正切 | tanθ | a / b = sinθ / cosθ |
| 余切 | cotθ | b / a = cosθ / sinθ |
| 正割 | secθ | c / b = 1 / cosθ |
| 余割 | cscθ | c / a = 1 / sinθ |
二、常用三角恒等式
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 基本恒等式 | sin2θ + cos2θ = 1 |
| 正切與余切關系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = 1 / tanθ |
| 正割與余割關系 | secθ = 1 / cosθ；cscθ = 1 / sinθ |
| 倒數關系 | tanθ × cotθ = 1；secθ × cosθ = 1；cscθ × sinθ = 1 |
三、誘導公式（角度轉換）
| 角度變化 | 對應的三角函數值 |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| tan(π - θ) | -tanθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| tan(π + θ) | tanθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
| tan(2π - θ) | -tanθ |
四、和差角公式
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ? sinA sinB |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ? tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1 = 1 - 2sin2θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan2θ) |
六、半角公式
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
通過以上公式，可以更方便地進行三角函數的計算與變換。在實際應用中，這些公式常用于解決幾何問題、波動分析、信號處理等領域。掌握這些基礎公式是進一步學習高等數學和相關應用學科的重要前提。
