在高中數學的學習中，三角函數是一個非常重要的部分。它不僅與幾何、代數緊密相關，還在物理、工程等領域有廣泛的應用。掌握好三角函數的基本公式和性質，是學好這一部分內容的關鍵。本文將系統整理高中階段常見的三角函數公式，幫助學生更好地理解和應用。
一、基本概念
三角函數是以角度為自變量的函數，通常定義在直角三角形或單位圓上。常見的六種三角函數包括：
- 正弦（sin）
- 余弦（cos）
- 正切（tan）
- 余切（cot）
- 正割（sec）
- 余割（csc）
這些函數之間存在一些基本關系，例如：
$$
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
$$
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}
$$
$$
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
$$
二、誘導公式
誘導公式用于將任意角的三角函數轉化為銳角的三角函數，便于計算。常見的有：
- 奇偶性：
$$
\sin(-\theta) = -\sin\theta, \quad \cos(-\theta) = \cos\theta, \quad \tan(-\theta) = -\tan\theta
$$
- 周期性：
$$
\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta, \quad \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta, \quad \tan(\theta + \pi) = \tan\theta
$$
- 對稱性：
$$
\sin(\pi - \theta) = \sin\theta, \quad \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta
$$
$$
\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta, \quad \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta
$$
三、和差角公式
用于計算兩個角的和或差的三角函數值：
- 正弦：
$$
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta
$$
- 余弦：
$$
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta
$$
- 正切：
$$
\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta}
$$
四、倍角公式
用于計算一個角的兩倍、三倍等的三角函數值：
- 正弦：
$$
\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta
$$
- 余弦：
$$
\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta
$$
- 正切：
$$
\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
$$
五、半角公式
用于計算一個角的一半的三角函數值：
- 正弦：
$$
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}
$$
- 余弦：
$$
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}
$$
- 正切：
$$
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}
$$
六、積化和差與和差化積公式
這些公式常用于簡化復雜的三角函數表達式：
- 積化和差：
$$
\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]
$$
$$
\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]
$$
$$
\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]
$$
- 和差化積：
$$
\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
$$
$$
\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
$$
$$
\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
$$
七、其他常用公式
- 正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
- 余弦定理：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$
- 面積公式（三角形）：
$$
S = \frac{1}{2}ab\sin C
$$
總結
掌握上述三角函數公式，有助于在解題過程中靈活運用，提高解題效率。建議同學們在學習過程中多做練習，加深對公式的理解與記憶。同時，結合圖像理解函數的變化規律，也能更深入地掌握三角函數的本質。
希望這篇“高中三角函數公式大全”能對你的學習有所幫助！
