在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)是一個非常重要的知識點(diǎn)，它不僅與幾何、代數(shù)緊密相關(guān)，還在物理、工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。掌握好三角函數(shù)的基本公式，是學(xué)好這一部分的關(guān)鍵。以下是一份整理全面、結(jié)構(gòu)清晰的高中三角函數(shù)公式表，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用這些知識。
一、基本定義
設(shè)角α為一個任意角，在直角坐標(biāo)系中，將角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x, y)，則有：
- 正弦函數(shù)：sinα = y
- 余弦函數(shù)：cosα = x
- 正切函數(shù)：tanα = y/x（x ≠ 0）
- 余切函數(shù)：cotα = x/y（y ≠ 0）
- 正割函數(shù)：secα = 1/x（x ≠ 0）
- 余割函數(shù)：cscα = 1/y（y ≠ 0）
二、同角三角函數(shù)關(guān)系式
1. 平方關(guān)系：
- sin2α + cos2α = 1
- 1 + tan2α = sec2α
- 1 + cot2α = csc2α
2. 商數(shù)關(guān)系：
- tanα = sinα / cosα
- cotα = cosα / sinα
3. 倒數(shù)關(guān)系：
- sinα = 1 / cscα
- cosα = 1 / secα
- tanα = 1 / cotα
三、誘導(dǎo)公式（用于角度轉(zhuǎn)換）
| 角度 | 公式 |
|------|------|
| sin(π/2 - α) | cosα |
| cos(π/2 - α) | sinα |
| tan(π/2 - α) | cotα |
| sin(π - α) | sinα |
| cos(π - α) | -cosα |
| tan(π - α) | -tanα |
| sin(π + α) | -sinα |
| cos(π + α) | -cosα |
| tan(π + α) | tanα |
四、和差角公式
1. 正弦：
- sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
2. 余弦：
- cos(α ± β) = cosα cosβ ? sinα sinβ
3. 正切：
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ? tanα tanβ)
五、倍角公式
1. 正弦：
- sin2α = 2sinα cosα
- sin3α = 3sinα - 4sin3α
2. 余弦：
- cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α
- cos3α = 4cos3α - 3cosα
3. 正切：
- tan2α = 2tanα / (1 - tan2α)
六、半角公式
1. 正弦：
- sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]
2. 余弦：
- cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
3. 正切：
- tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)]
- 或者：tan(α/2) = sinα / (1 + cosα)
七、積化和差公式
1. sinα cosβ = [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2
2. cosα cosβ = [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2
3. sinα sinβ = [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2
八、和差化積公式
1. sinα + sinβ = 2sin[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]
2. sinα - sinβ = 2cos[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]
3. cosα + cosβ = 2cos[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]
4. cosα - cosβ = -2sin[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]
九、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)
| 函數(shù) | 定義域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 單調(diào)區(qū)間 |
|------|--------|------|------|--------|----------|
| sinx | R | [-1, 1] | 2π | 奇函數(shù) | 在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]遞增 |
| cosx | R | [-1, 1] | 2π | 偶函數(shù) | 在[2kπ, π + 2kπ]遞減 |
| tanx | x ≠ π/2 + kπ | R | π | 奇函數(shù) | 在(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)遞增 |
十、常見特殊角的三角函數(shù)值
| 角度（弧度） | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π |
|--------------|---|-----|-----|-----|-----|------|------|------|---|
| sinθ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| cosθ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1/2 | -√2/2 | -√3/2 | -1 |
| tanθ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | 無定義 | -√3 | -1 | -1/√3 | 0 |
通過熟練掌握以上三角函數(shù)公式，可以有效提升解題效率，特別是在三角恒等變換、三角方程求解以及實(shí)際問題建模中具有重要作用。建議同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中多做練習(xí)，加深對公式的理解與記憶，做到靈活運(yùn)用。
