【導數公式表】在微積分的學習中，導數是一個非常重要的概念，它用于描述函數的變化率。掌握常見的導數公式，有助于快速求解函數的導數，提高解題效率。以下是一些常用的導數公式總結，并以表格形式呈現，便于查閱和記憶。
一、基本初等函數的導數
| 函數表達式 | 導數 |
| $ f(x) = C $（C為常數） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n為實數） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、導數的四則運算法則
| 運算類型 | 公式 |
| 加法法則 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ |
| 減法法則 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘法法則 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法則 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $（$ g(x) \neq 0 $） |
三、復合函數的導數（鏈式法則）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，則：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
四、高階導數簡要說明
對于某些函數，可以求出其二階、三階甚至更高階的導數。例如：
- $ f(x) = x^3 $，則：
- 一階導數：$ f'(x) = 3x^2 $
- 二階導數：$ f''(x) = 6x $
- 三階導數：$ f'''(x) = 6 $
五、小結
導數是微積分中的基礎工具，掌握常見函數的導數公式以及導數的運算規則，能夠幫助我們更高效地解決實際問題。無論是數學分析還是物理、工程等應用領域，導數都具有廣泛的應用價值。建議在學習過程中多加練習，靈活運用這些公式。
通過以上內容，希望你能對導數有更清晰的理解，并能熟練應用于各類題目中。
