在數學中，復數是一種擴展了實數范圍的概念，它由實部和虛部組成，通常表示為 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 是實部，\( b \) 是虛部，而 \( i \) 是虛數單位，滿足 \( i^2 = -1 \)。

當我們需要計算復數 \( z \) 的平方時，實際上就是將 \( z \) 乘以自身，即 \( z^2 = z \cdot z \)。接下來，我們詳細地推導這個過程：

假設 \( z = a + bi \)，那么：

\[

z^2 = (a + bi)(a + bi)

\]

利用分配律展開：

\[

z^2 = a^2 + abi + abi + (bi)^2

\]

由于 \( i^2 = -1 \)，所以 \( (bi)^2 = b^2 \cdot i^2 = -b^2 \)。因此，上式可以簡化為：

\[

z^2 = a^2 + 2abi - b^2

\]

進一步整理后，得到：

\[

z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi

\]

由此可見，復數 \( z \) 的平方仍然是一個復數，其結果由實部和虛部兩部分構成。具體來說：

- 實部為 \( a^2 - b^2 \)

- 虛部為 \( 2ab \)

示例

例如，若 \( z = 3 + 4i \)，則：

\[

z^2 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2

\]

\[

z^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i

\]

因此，\( z^2 = -7 + 24i \)。

通過上述推導與示例，我們可以清晰地看到復數平方的計算方法。掌握這一技巧對于深入學習復數及其應用至關重要。希望本文對你有所幫助！