在工程領域中，材料力學是研究固體材料在外力作用下變形和破壞規律的一門學科。它為結構設計提供了重要的理論基礎。以下是一些常見的材料力學公式，它們在實際應用中起著至關重要的作用。

1. 胡克定律

胡克定律描述了彈性體在受力時的應力與應變之間的關系。其數學表達式為：

\[ \sigma = E \cdot \varepsilon \]

其中，\(\sigma\) 表示應力（單位：帕斯卡），\(E\) 是彈性模量（楊氏模量），\(\varepsilon\) 是應變。

2. 梁的彎曲公式

對于簡支梁或懸臂梁，最大彎矩和撓度可以通過以下公式計算：

- 最大彎矩：

\[ M_{\text{max}} = \frac{P \cdot L}{4} \]

- 最大撓度：

\[ f_{\text{max}} = \frac{P \cdot L^3}{48 \cdot E \cdot I} \]

其中，\(P\) 是集中載荷，\(L\) 是梁的長度，\(E\) 是彈性模量，\(I\) 是截面慣性矩。

3. 扭轉公式

當圓軸受到扭轉力偶時，切應力和單位長度的扭轉角可以表示為：

- 切應力：

\[ \tau = \frac{T \cdot r}{J} \]

- 單位長度扭轉角：

\[ \theta = \frac{T \cdot L}{G \cdot J} \]

其中，\(T\) 是扭矩，\(r\) 是半徑，\(J\) 是極慣性矩，\(G\) 是剪切模量，\(L\) 是軸的長度。

4. 壓桿穩定性公式

壓桿的臨界載荷可以用歐拉公式表示：

\[ P_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{(KL)^2} \]

其中，\(K\) 是長度系數，\(L\) 是壓桿的長度。

以上公式只是材料力學中的一部分，但它們涵蓋了應力分析、變形計算以及穩定性評估等核心內容。熟練掌握這些公式，可以幫助工程師更好地進行結構設計和優化。

希望這些公式對您的學習或工作有所幫助！