【什么是綜合除法】綜合除法是一種用于快速計算多項式除法的方法，尤其適用于將一個多項式除以形如 $ x - a $ 的一次因式。它比傳統的長除法更加簡潔高效，特別適合在求解多項式的根、因式分解或簡化表達式時使用。
綜合除法的核心思想是利用系數的遞推關系，逐步計算出商式和余數，而不需要進行繁瑣的多項式減法運算。這種方法不僅節省時間，還能減少計算錯誤的發生。
一、綜合除法的基本步驟
| 步驟 | 操作說明 |
| 1 | 將被除式按降冪排列，并寫出所有系數（包括零系數項）。 |
| 2 | 寫出除式 $ x - a $ 中的常數 $ a $。 |
| 3 | 將 $ a $ 移到左邊，寫下被除式的系數。 |
| 4 | 將首項系數“下移”到下方。 |
| 5 | 用該系數乘以 $ a $，結果加到下一項系數上。 |
| 6 | 重復第5步，直到所有系數處理完畢。 |
| 7 | 最后一行的數字即為商式的系數，最后一個數字是余數。 |
二、綜合除法與傳統多項式除法的對比
| 項目 | 綜合除法 | 傳統多項式除法 |
| 運算方式 | 系數遞推 | 逐項相減 |
| 復雜度 | 簡單快捷 | 較復雜 |
| 適用范圍 | 除以 $ x - a $ | 任何一次或高次因式 |
| 錯誤率 | 較低 | 較高 |
| 計算效率 | 高 | 低 |
三、舉例說明
假設我們想用綜合除法計算 $ (x^3 + 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 1) $。
步驟如下：
1. 被除式系數：1, 2, -5, 6
2. 除式為 $ x - 1 $，所以 $ a = 1 $
```
1
-
1 3 -2 4
```
結果：
商式為 $ x^2 + 3x - 2 $，余數為 4。
四、總結
綜合除法是一種高效、簡潔的多項式除法方法，特別適用于除以一次因式的情況。通過系統地處理系數，可以快速得出商式和余數，避免了傳統除法中的繁瑣步驟。它在代數運算中具有重要的應用價值，尤其是在因式分解、求根和多項式簡化等方面。掌握綜合除法有助于提高數學運算的效率和準確性。
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