arctanx的不定積分積

在數學分析中，不定積分是一個非常重要的概念，它用于求解函數的原函數。今天我們將探討一個經典的不定積分問題——arctan(x)的不定積分。

首先，讓我們回顧一下什么是不定積分。不定積分是微分運算的逆過程，即給定一個函數f(x)，我們尋找另一個函數F(x)，使得F'(x) = f(x)。對于arctan(x)，我們需要找到一個函數F(x)，使得其導數等于arctan(x)。

要解決這個問題，我們可以使用分部積分法。分部積分法的基本公式是：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

在這里，我們可以將arctan(x)視為u，而dx視為dv。因此，我們需要確定du和v。我們知道：

\[

u = \arctan(x), \quad dv = dx

\]

那么，

\[

du = \frac{1}{1+x^2} \, dx, \quad v = x

\]

代入分部積分公式，我們得到：

\[

\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx

\]

接下來，我們需要計算第二個積分\(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。注意到分子是分母的導數，這提示我們可以使用變量替換法。設\(u = 1 + x^2\)，則\(du = 2x \, dx\)，所以：

\[

\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C

\]

將其代入之前的表達式，我們得到：

\[

\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C

\]

這就是arctan(x)的不定積分結果。通過這個過程，我們不僅解決了具體的積分問題，還復習了分部積分和變量替換法的應用。

希望這篇文章能幫助你更好地理解arctan(x)的不定積分及其求解方法。如果你有任何疑問或需要進一步的幫助，請隨時提問！