在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，微分方程是描述自然現(xiàn)象和工程問題的重要工具之一。其中，一階齊次微分方程是一種特殊形式的方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式可以表示為：

\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 \]

這里，\(P(x)\) 是一個連續(xù)函數(shù)。我們的目標(biāo)是推導(dǎo)出這種方程的通解公式。

首先，我們注意到這個方程的特點(diǎn)是沒有自由項(xiàng)（即等式右側(cè)為零）。為了求解，我們可以采用分離變量法。將 \(y\) 和 \(x\) 分別移到方程的兩邊，得到：

\[ \frac{dy}{y} = -P(x)dx \]

接下來，對兩邊進(jìn)行積分操作。左邊對 \(y\) 積分，右邊對 \(x\) 積分，這樣我們有：

\[ \int \frac{1}{y} dy = \int -P(x) dx \]

積分的結(jié)果分別為：

\[ \ln|y| = -\int P(x) dx + C \]

這里，\(C\) 是積分常數(shù)。為了消除對數(shù)符號，我們將兩邊取指數(shù)運(yùn)算：

\[ y = e^{-\int P(x) dx + C} \]

利用指數(shù)的性質(zhì)，可以進(jìn)一步簡化為：

\[ y = Ce^{-\int P(x) dx} \]

這就是一階齊次微分方程的通解公式。其中，\(C\) 仍然是任意常數(shù)，代表了方程的所有可能解。

通過上述推導(dǎo)過程可以看出，分離變量法是一階齊次微分方程求解的核心方法。這種方法不僅適用于理論研究，也在實(shí)際應(yīng)用中具有廣泛的適用性。希望以上推導(dǎo)能夠幫助理解這一重要的數(shù)學(xué)概念。